ケーリー・ハミルトンの定理

ブラケット記法ってテンソル積を明示すると煩雑になるし省略すると混乱を生じ易くなるしで、テンソル積が絡むとおよそ良い所がない。で、テンソル積を明示 する事で劇的に見通しが良くなる例としてケーリー・ハミルトンの定理の証明を一つ。要点は、シュミットクラス作用素と、ヒルベルト空間とその双対空間との テンソル積空間のベクトルとの対応関係が、見た目で処理できるという事。物理のかけらもない線形代数のトピックでブラケット記法の良い所探しをするとか、 ニッチ市場にも程があるが。

以下テンソル積をxと書く。

n次元(実でも複素でも)縦数ベクトル空間をLとする。Lの上の線形写像の全体をMとする。Mはnxn行列の全体と見る事もできる。Mの任意の要素Aが、行列と見た時定義される自身の固有多項式を消滅させる事を示す。

まず、自明な式

AI=IA

に着目する。Mの要素に左からAをかける写像をL_A, 左からAをかける写像をR_Aとする。すると上式は

L_A(I)=R_A(I)

と書ける。

Mの要素を対応関係|φ><ψ|～|φ>x<ψ|及び線形性を手がかりにしてM'=LxL^*のベクトルに対応させる。特にLの数ベクトル空間としての標準基底を|i>とすればI=∑|i><i|には∑|i>x<i|が対応する。

L_A, R_AはLの上ではスーパーオペレーションだが、M'の上では線形写像だ。Mの上での作用として|φ><ψ|を(A|φ>)<ψ|や|φ>(<ψ|A)に写す事から、M'の上ではこれらはAxI及びIxAだ。すなわち、自明な式AI=IAからいつのまにか非自明な式

(AxI-IxA)∑|i>x<i|=0,

が導かれた。(AxI-IxA)を行列成分の行列、∑|i>x<i|を横ベクトル成分の縦ベクトルと見なそう。(AxI-IxA)の余因子行列の転置を両辺にかけると、

diag(det(AxI-IxA))∑|i>x<i|=diag(φ(A))∑|i>x<i|=0,

を得る。ここでφはAの固有多項式。この結果はφ(A)の全ての行が横零ベクトルである事を示すから、φ(A)=Oが導かれた。

ねむいー

自転車に乗っていたり歩いたりしていても眠気を感じるのだが、最近それがやばいほど強烈になってきた。個別の症状以上に、この、少しずつ人生が削り取られていくような感覚には本当にまいってしまう。

体調

最近は滅茶苦茶強い筋肉痛という事はなくって、肉体的疲労についてはやっぱりCFSの事を意識しすぎていたのかなあ、などとも思っていたのだが、昨日今日と足に筋肉痛がずっとある。そして腕と足の倦怠感が凄い。

それと頓服で出されていたドグマチールがなくなってから、二日間入眠に苦労したが、一昨日、昨日と夜すんなりと寝付けた。ただ起きるのは変わらずに13時過ぎ。やっぱドグマチール関係ないのかなあ。今までも、大体冬～春にかけては不眠が解消されて起きる時間は変わらずに過眠傾向になる事が多かったし。

で、起きた後も強烈な眠気で何も手に付かない。うとうとしちゃうわけでも居眠りしちゃうわけでもないんだけど、やっぱり眠気としか言いようがないんだよなあ。

せめて年末年始に数ヶ月間経験した(その時の処方はリボトリールとドグマチール)、日に数時間活動的な時間帯が得られるという状況がもう一度訪れれば(思えばそれで一念発起して「身も蓋もない」開発とこのブログを始めたんだっけ)、もう少し人間らしい生活ができるんだけど・・・。このブログも体調の事ばかりで随分とつまらなくなってしまった。

ねむいー

目覚めが最近ない程すっきりしていて、あれ？ラッキーって思ったのだが、その後しばらくしてから強烈な眠気。それでもって腕から足からだるいし足はちょっと筋肉痛があるし、食事しただけで息が上がるし。

目がしょぼしょぼして、目蓋が重くて、目の奥から額からつーんとして、目蓋も鼻の頭も痙攣して、ひたすらに辛い。

ちなみに、睡眠時間は、夜12時前に寝たのに寝付けたのが朝5時。で8時くらいに目が覚めた後二度寝を繰り返して正午まで寝ていた。体感的には不眠と過眠の両方の記憶があるのだが、ちゃんと計算してみると睡眠時間自体は実は標準的という何年も付き合ってきたパターン。

ヘロンの公式の一般化

ヘロンの公式の任意のn次元で通用する一般化は、計量行列の行列式の平方根(ここまでで二次元ならば平行四辺形の面積、三次元ならば平行六面体の体積になる)をとって1/n!すれば良い。

で、何で計量行列の行列式の平方根を取るのかと言えば、一つの説明はベクトルn個を適当な正規直交基底で表示した成分を並べて作った行列の行列式の絶対値がこれらが成す単位格子の体積を与えるから。

で、さらにその理由の簡単な説明を考えたのだが、一番簡単なのは、完全反対称関数の自由度がたった1しかない事に訴える事。

まず、

V=V(x_1,x_2,...x_n)

という風に単位格子の体積をn個のベクトルの関数として書く。これは、大体線形なのだが、微妙に線形じゃない。しかし、

V'=V'(x_1,x_2,...,x_n), |V'|=V

なる各引数について線形な関数を作る事ができる。このようなV'はV'と-V'の二種類ある(この辺り、ちゃんと証明しようとするとめちゃめちゃ面倒なんだろうなあ)。

V'は各ベクトルについて線形なだけでなく、完全反対称だ。n個のベクトルの完全反対称な関数というものを任意に考えると、実は自由度は1しかない。つまり、

V'(x_1,x_2,...,x_n)=A_{i_1,...,i_n}(x_1)_{i_1}...(x_n)_{i_n}

と書いた時、係数A_{i_1,...,i_n}は完全反対称テンソルε_{i_1,...,i_n}に比例する。正規直交基底を引数に取った時、1または-1にならなければならない事から、比例係数は1または-1であると分かる。これは、V'がX_{ij]=(x_i)_{j}を成分とする行列Xの行列式またはその逆符号を取った物である事を意味する。

睡眠

頓服で出されていたドグマチールを駄目元で毎日飲んでいたら、その間は毎日夜寝つけていたのだが(だだ、起きるのは昼過ぎになってしまって、年末年始の数ヶ月に経験した、朝6時～8時に活動的な時間帯が生じる、という状況にはならなかった)もらっていた10錠がなくなったら、昨晩いきなり朝5時まで寝付けないというようになってしまった。今の医師も睡眠のリズムの改善はリボトリールのお陰だったのだろう、と言っているのだけど、もう何が何だか良く分からん。寝付けるにせよ寝付けないにせよ、起きている間の強烈な眠気も相変わらずだし。

体調

じっとしていると直ぐに目蓋が重くなって、目の奥や額がつーんとして、めちゃめちゃ辛い。目を閉じると目蓋や鼻の頭の痙攣も酷い。強烈な眠気としか言いようがないのだけど、うとうとしてしまうという感じではなく、ただひたすらに辛い。横になって枕に額を押し付けたり机に突っ伏したりと、ぐるぐる繰り返して、部屋の中にいると何も手につかない。高校の頃から徐々に、本とか文書という物を集中して読めなくなって、学業の上では、人と全然違う所で奇妙な苦労を強いられた。最近はもう、コンピュータに向かうのも一苦労、本どころか漫画を読むのも一苦労という感じ。

部屋の中では何にも手につかないし、座椅子やベッドでゆっくりしようとしても腕から足から強烈な倦怠感があって、それを吹き飛ばすために何かしら活動したくてたまらなくなって、ゆっくり休むという事ができない。そんなこんなで部屋にいても気が滅入るばかり。疲れやすいというのもこの強烈な眠気とともに主訴の一つである状況ではあるのだけど、別に動けないという程では全くない(運動会の次の日のような感じ)ので、最近ではほとんど毎日外出してショッピングモールを2時間ほど歩いて、それが最大の気分転換となっている。それでゾンビのようになって帰宅するのだけど。

休んでいる間に頻尿とか過敏性腸症候群とかが治まったのと、現在の薬の処方のせいか(やっぱりドグマチールが効くみたい？)不眠が解消されたのもあって、自分の状態が整理されてきた。その結果として最近になってようやく、すごく眼に疲れや神経症状が来てそれが一番困っている点だと認識できるようになってきた。

高校の頃から、授業に全く集中できずに寝てばかりいるようになったのだが、あれも、成長期の頃のうとうとする眠気と違い、目蓋が重くて眼の奥や額がつーんとして集中できず、机に突っ伏して額を腕に押し付けて集中力をかき集めては少しだけ授業を聞いて、また集中できなくなって突っ伏して、というのを繰り返していた。何だか眠気というのとも違うとは感じつつ、やはり言語化するならば眠気としか言いようがなく、睡眠のリズムの乱れもあって、睡眠不足による眠気として無理に納得していたが、どうもその認識は間違っていたのではないかと思う。

大学の頃からは決まって年に二回程、PCのディスプレイを見ると吐き気がする程に眼がおかしくなるという事を経験するようになった。そういう場合にはPCを利用する活動を最低限に制限しても2週間くらい経たないと回復しなかった。それに、普通の人と全く逆に、子供の頃には乗り物に酔わなかったのが、高校の頃から次第に電車やバス、車に弱くなっていった。最近は電車もバスも使っていないので偶に使う時もちょっと苦手程度だが、一昨年なんかはバスに乗っている間はずっと目を閉じていないと強烈な吐き気に苦しむ羽目になった。

次回の診察では、眠気と疲れ、という風に簡単に済ませてしまわずに、眼の症状、という観点から少し相談してみよう。まあ神経症状がこういう形で現れているという話ならば、眼科で検査・治療を受けてめでたしめでたしとなるという風にはいかないのだろうけれど。